命「平方数に1足した数の素因子は(2)または{4()+1}型のみである」(?.予想) from azui

命「平方数に1足した数の素因子は(2)または{4()+1}型のみである」(?.予想)

n^2, n^2+1
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1^2= 1, 2
2^2=4, 5
3^2=9, 10=2*5
4^2=16, 17
5^2=25, 26 = 2,*13
6^2=36, 37
7^2=49, 50=2*5^2
8^2=64, 65=5*13
9^2=81, 82=2*41
10^2=100, 101
...
..
.


互いに素と平方数を調べていたら上のような命題が成り立つようだと気づきました。
まだ、予想ですが。

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関連
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奇数を互いに素である2つの平方数の和で表す

(問題)
kは奇数であり、k=p1*p2*...*pNと素数の積で表した場合に全てのp≡1 mod 4であるならば、k=s^2+t^2、ただしgcm(s,t)=1と表せることを証明せよ。


2つの数a,bが互いに素の時、それらの平方数の和の結果が、{4()+1}型の素因子のみになることに気づきました。

a^2+b^n = p1 p2 p3.... pn

p1 p2 p3.... pnの型はすべて{4()+1}型になる。
ただし、偶数の場合は、どうも、2が1つだけ素因子として現れるようです。少し計算しただけですが。
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主にアクションゲーム制作について発表しています。
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