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互素行列の性質

A=
|a c|
|b d|

detA = ad-bc=1
a>b c>d ※aとb、cとdが法と余りの関係になるようにする(ユークリッドの互除法の逆演算で生成される行列になる.一意?)
(ad,bc,●) ※adとbcが互いに素。gcm(ad,bc)=1
(a,b,●) (c,d,●) (a,c,●) (b,d,●) ※gcm(a,b)=1,gcm(c,d)=1,gcm(a,c)=1,gcm(b,d)=1



■命)互素行列の4つの成分の積を4倍して1足すと平方数になる(真)
4(a・b・c・d)+1 = (ad+bc)^2

■互素行列の2つの列ベクトルのsinとcos
(sinθ)^2 = 1 / (a^x+b^2)(c^2+d^2)
(cosθ)^2 = ((a^x+b^2)(c^2+d^2)-1) / (a^x+b^2)(c^2+d^2)

■命)互素行列の4つの成分a,b,c,dの内1つは偶数である
{ a・b・c・d }= {2()}型

■命)互素行列の4つの成分(a・d) (b・c)の一方は奇数、もう一方は偶数ある(真)
証明.detA=ad-bc=1より、adとbcの差が1だから

■命)互素行列の2つの列ベクトルの絶対値の2乗の積から1引いた数は平方数である(真)
(a^x+b^2)(c^2+d^2)-1 は平方数である。
その正体は(ac+bd)^2。2つの列ベクトルの内積の2乗である。


■ad,bcの和、積、2乗和
4(ad・bc)+1 = (ad+bc)^2 = 2( (ad)^2+(bc)^2)-1
2(ad・bc)+1 = (ad)^2+(bc)^2

■ad,bcの和、積、2乗和の関係
(積)ad・bc = ((ad)^2+(bc)^2-1)/2 = ((ad+bc)^2-1)/4
(和)ad+bc = sqrt( 4(ad・bc)+1) = sqrt( 2((ad)^2+(bc)^2)^2-1)
(2乗和)(ad)^2+(bc)^2= 2(ad・bc)+1 = ( (ad+bc)-2+1 )/2



P.S
行列式が1であることから、こんなに面白い(?)性質が導き出されるようです。
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しゃれこうべとあずいの2人によるブログです。
主にアクションゲーム制作について発表しています。
あと、数学の研究です。

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