和(足し算)の性質 from azui

互いに素について調べていたら当然のことなのですが

「和(足し算)の性質」

について改めて考えさせられました。

「2つの数の和の結果には2つの数の最大公約数(?)を保持(?)する。」

ある2つの数a, bの最大公約数(?)がkのとき

a=kx
b=ky

これは、aとbが互いに素ではないということです。 (a,b,○) = k(x,y,●)
xとyは互いに素です。

aとbの和の結果は

a+b = kx+ky = k(x+y)

となる。当然です。

例 3x4=12 3x5=15
12+15=27 = 3(4+5) = 3x9

例 7x2=14 7x6=42
14+42 = 56 = 7(2+6) = 7x8


「kを式で求められないのかな?」

と考えました。今は、アルゴリズムでもとめているのでしょうが、式で求めることはできないのかな?

以前、余りを求めるのがアルゴリズムである。
もしかしたら、余りを求める式があるようだと書きました。

余りを計算する式はあるのか?ーmodを使わない-

最大公約数も式でもとめられないのかなと思いました。それは「和の性質」が使えないでしょうか?

a=kx
b=ky

a+b
=kx+ky
=k(x+y)

ab =k^2xy

(a+b)^2
=(k(x+y))^2
=k^2(x+y)(x+y)
=k^2(x^2+2xy+y^2) ...(1)

式(1) -2ab

k^2(x^2+2xy+y^2) - 2k^2xy
=k^2(x^2+2xy+y^2-2xy)
=k^2(x^2+y^2) ...(2)


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主にアクションゲーム制作について発表しています。
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