奇数を互いに素である2つの平方数の和で表す

(問題)
kは奇数であり、k=p1*p2*...*pNと素数の積で表した場合に全てのp≡1 mod 4であるならば、k=s^2+t^2、ただしgcm(s,t)=1と表せることを証明せよ。

これは、「二次体K(i)、K(√-3)の整数」の問題で、
「p≡1(mod 4)なる有理素数pを二つの平方の和に分解する
ことができる。しかもこの分解はただ一様に限る」という定理
の逆の問題です。

P_1=x_1+i・y_1
P_2'=x_2-i・y_2 とすると、

P_1・P_2'=x_1・x_2+y_1・y_2-i・(x_1・y_2-x_2・y_1)
P_1・P_2'=4・z+1 であるためには、
虚数部が0でなければならず、先ず、

x_1・y_2=x_2・y_1 でなければならない。
x_2/x_1=y_2/y_1=k とすると
P_2'=P_2・P_3 として
P_1・P_2・P_3=k・(x_1+i・y_1)(x_1-i・y_1)=4・z+1

ここで、k=P_3 とした。このとき、k=4・q+1 と表わせるので
(4・q+1)・(x_1^2+y_1^2)=4・z+1

これが成り立つためには、x_1 と y_1 は
偶数-奇数の組み合わせでなければならない。 (a)

x_1=2・x_1'、y_1=2・y_1'+1 とすれば
(4・q+1)・(x_1^2+y_1^2)
=(4・q+1)・{4・x_1'^2+(2・y_1'+1)^2)}
=(4・q+1)・(4・x_1'^2+4・y_1'^2+4・y_1'+1)
=(4・q)・(4・x_1'^2+4・y_1'^2+4・y_1')
+(4・x_1'^2+4・y_1'^2+4・y_1')+4・q+1
=4・Q+1 と表わせる。
x_1=2・x_1'+1、y_1=2・y_1' とした場合も同様の結果を得る。

このとき、a=√{(4q+1)(x_1・x_2)}、b= √{(4q+1)(y_1・y_2)} とすると
a、b は、偶数-奇数なので互いに素である。
そして、
m=P_1*P_2*P_3=(4・q+1)・(x_1^2+y_1^2)
=(x_1+i・y_1)・(x_2-i・y_2)
=a^2+b^2 と表わせる。


奇数を互いに素である2つの平方数の和で表す


P.S
さっぱり、わからない・・
ただ、研究していたら、どうも、

2つの数a,bが互いに素の時、それらの平方数の和の結果が、{4()+1}型の素因子のみになることに気づきました。

a^2+b^n = p1 p2 p3.... pn

p1 p2 p3.... pnの型はすべて{4()+1}型になる。
ただし、偶数の場合は、どうも、2が1つだけ素因子として現れるようです。少し計算しただけですが。

ネットにそういった命題があるのかと思って調べてみたら、すでに証明されているようです。
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しゃれこうべとあずいの2人によるブログです。
主にアクションゲーム制作について発表しています。
あと、数学の研究です。

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