互いに素と行列式=1,-1の関係

互いに素について調べていたら、

(x,y,●)[xとyが互いに素]のとき、
(x,y,●)=(a,b,●)+(c,d,●)と2つの互いに素の和として表すことができる。

2つの互いに素をベクトルと考えて、さらに、行列にする

|a c|
|b d|

この行列式

a*d -b*c

が +1,または -1になることと、 (x,y,●)[xとyが互いに素]になることは同値である

という結果(予想)がでてきました。

2つの互いに素(a,b,●)と(c,d,●)は、(x,y,●)と内積をとると1になるものです。

(x,y)・(b,-a)=1
(x,y)・(-d,c)=1

(上の行列の逆行列だと思われます)

さらに、

(b,-a)-(-d,a)=(-y,x)

です(たしか,こんな感じの関係です・・正確ではないですが・・)

from azui

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modと行列に関することです。

Q.modと行列に関することです。

2×2行列の逆行列が存在するためには、まずその行列式が0ではないことと
行列式と法Nが互いに素ではなければならないのですが、後者がなぜなのかわかりません。
たとえば、A=2,3,7,8(2×2行列、2が1行1列、3が1行2列という具合です。)
法26でこの行列式を計算するとD=2・8-3・7=-5=21
GCD(21,26)=1であることから,行列式Dに逆元すなわち〖21〗^(-1)=5が存
在する。
といった具合です。
行列ではないときの逆元が存在する条件は法Nとその数が互いに素でなければならないことは理解できました。
だから、行列もその行列と法Nが互いに素になればいいという感じで考えているのですが…

A.
2×2 の行列 A の行列式を det A と書きます。
定義通りに計算することで、2つの行列 A,B に対して

det (AB) = (det A)(det B)

が成立することが知られています(2×2 の行列に限れば、上の証明は難しくありません)。
これは、実数や整数で考えても、法N の整数で考えても同じことです。

さて、以下法Nで2×2行列に限った話をします。
整数 n に法Nで逆元が存在するためには、gcd(N,n) = 1 が必要十分条件なのでした。
2×2行列 A に逆行列が存在するならば、

I = A(A^(-1)) (mod N)

なので、この行列式を考えて

1 = det I = (det A)(det A^(-1)) (mod N)

が成立します。
つまり、(det A^(-1)) は (det A) の逆元であり、逆元が存在することから

gcd(N, det A) = 1

でなければなりません。

逆に、 A = [[a b] [c d]](行毎に表示)に対して

gcd(N, det A) = 1

であったならば、mod N での det A の逆元を λ として

λ[[d -b] [-c a]]

は A の逆行列です。


(可換環の知識があるなら、上の議論は「A∈M(n;R)が可逆⇔det A は R の可逆元」として理解できます)
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主にアクションゲーム制作について発表しています。
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