互素三角形の関係式

三角形の3つの辺の絶対値(辺の長さ)の2乗がa,b,c

ab = x^2+1 ..(1)
ac = y^2+1 ..(2)
bc = z^2+1 ..(3)

a+b-c = -2(x) ..(4)
a-b+c = 2(y) ..(5)
-a+b+c=2(z)..(6)

a=y-x ...(7)
b=z-x ...(8)
c =y+z ..(9)

yz-xy-xz = 1 ..(10)

sqrt( c(abc - a - b)+1 ) - sqrt( a(abc-b-c)+1) - sqrt(b(abc-a-c)+1) = 1 ...(11)

yz = sqrt( c(abc - a - b)+1 ) ...(12)
xy = sqrt( a(abc-b-c)+1) ...(13)
xz = sqrt(b(abc-a-c)+1) ...(14)
※(12),(13),(14)..sqt()の中の式の結果が平方数である


■平方数
x^2 = ab -1
y^2 = ac-1
z^2 = bc-1

(yz)^2 = c(abc - a - b)+1
(xy)^2 = a(abc-b-c)+1
(xz)^2 = b(abc-a-c)+1


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互素三角形

最近、行き詰っていたのですが、面白い(?)ことが見つかりました。
「ヘロンの公式」と互素行列の列ベクトルを考えていて見つかりました。

互素行列の行列式が1ということなのですが、
これは行列式の幾何学的解釈(?)が行列の列ベクトル(行ベクトル)がつくる平行四辺形の面積です。
ということは平行四辺形を半分にして三角形の面積は1/2になるはずです。
そこで「ヘロンの公式」があったのでためしに、互素行列の列ベクトルの長さをもとめて、それをヘロンの公式にいれて計算してみました。
当然、1/2になります。
その三角形の性質がちょっと面白いと感じました。

「互いに素」のペア(?)というものがあります、例を挙げると

(4,3,●) =
|3 1|
|2 1|

(5,3,●) =
|2 3|
|1 2|

などです。
この2つの互素行列の列ベクトルを見ると3つのベクトル(互素ベクトル)があります

互素ベクトルをa,b,cとします。
a=(1,1,●)
b=(2,1,●)
c=(3,2,●)

これら3つのベクトルは3角形を表しています。
この3つの互いに素であらわされる三角形を「互素三角形」と呼ぶことにします

c = a+b
(3,2,●)= (1,1,●) + (2,1,●)

この互素ベクトルの長さは

|a|=sqrt( 1^2+1^2) = sqrt(1+1) = sqrt(2)
|b|=sqrt( 2^2+1^2) = sqrt(4+1) = sqrt(5)
|c|=sqrt( 3^2+2^2) = sqrt(9+4)= sqrt(13)

つまり、「互素三角形」の3つの辺|a|,|b|,|c|です。

----------------------------------------------------------------------
■互素三角形の特徴

1)2つの辺を選んで、掛け合わせて1引くと平方数になる
2)2つの辺を選んで足し、残りの辺を引く、その結果を2で割ると、(1)の平方数の平方根(?)になる
3)面積は1/2になる
4)2辺は奇数、残りの1辺は、偶数
5)辺の素因子は、(2)または、{4()+1}型のみになる(予想)

※注意!辺のsqrt(n)の中のnについての計算
----------------------------------------------------------------------
例、上の互素三角形より
|a|=sqrt(2)
|b|=sqrt(5)
|c|=sqrt(13)

|a|*|b|
=sqrt(2)*sqrt(5)
=sqrt(10)
=sqrt(9+1)
=sqrt(3^2+1^2)

|a|*|c|
=sqrt(2)*sqrt(13)
=sqrt(26)
=sqrt(25+1)
=sqrt(5^2+1^2)

|b|*|c|
=sqrt(5)*sqrt(13)
=sqrt(65)
=sqrt(64+1)
=sqrt(8^2+1^2)

a+b-c
=2+5-13
=7-13
=-6
=2(-3)

a-b+c
=2-5+13
=-3+13
=10
=2(5)

-a+b+c
=-2+5+13
=3+13
=16
=2(8)

互素行列と互いに素の不定方程式の関係(互素行列の導出)


互素行列をどのように考えて導出したかについて書こうと思います。
別に目新しいことではないのかもしれませんが・・・

互素行列と僕が呼んでいる2x2行列は、互いに素の不定方程式を調べていて思いつきました。
互いに素の不定方程式とは2つの数m,nが互いに素の時、

m*x + n*y = 1

という不定方程式が成り立つ整数解が存在するというものです。

(ちなみに僕は勝手に、この不定方程式を「互素不定方程式」と呼ぶことにします。)

ーーーーーーーーーーーーーーーー
ガウスとオイラーの整数論 P32

■互いに素
mとnが「互いに素」とは「最大公約数が1」という意味である。このとき、最小公倍数はmnになる。

mとnが互いに素であるとき、 1=mx+ny とあらわせる ただし、あらわし方は一通りではない

m,nの最大公約数をd(d>0)とするとき、整数x,yを用いて d=mx+nyと表すことができる.ただし、あらわし方は一通りではない
ーーーーーーーーーーーーーーーー


この互素不定方程式の解は無数に存在します。
そして、それはベクトルと考えることができるときづきました。

互いに素とベクトル

その無数に存在する解の中で、原点(0,0)に最も近い2つの解を2x2行列の成分に使うと行列式が1の行列が必ず作れます。
それは、互素不定方程式が1とイコールになっているということと同じことを意味しています。

ちょっとこれらの説明でうまくつたわるかわかりませんが、そのようにして導出しました。



行列にして面白い点は、行列の積が、また、別の互素行列を作りだすことです。
これは互いに素の掛け算のように考えられるかもしれません。


新しく求まった互素行列も、互素不定方程式を意味しているので、新しい互素不定方程式とその解を意味しています。

このことから、互素行列が求まれば、互素不定方程式が解けます。逆に互素不定方程式が解ければ、互素行列がもとまります。

互素不定方程式は、m,nの逆数が分かれば求められますから互素行列が求まれば、m,nの逆数も求まるはずです。


関連
互いに素とベクトル

素数の研究資料

素数の研究資料


現在、調べていること

素数(互いに素)の研究は行き詰ってきました from azui

素数(互いに素)の研究は行き詰ってきました。
最近、調べていたことですが、あまり、面白い結果がえられていません。

互素行列Aについて
A=
(a,c)
(b,c)

tA=
(a,b)
(c,c)
※tAは互素行列Aの転地行列

R(π/2) = A * R(π/2) * tA
R(π/2) = tA * R(π/2) * A

R(3π/2) = A * R(3π/2) * tA
R(3π/2) = tA * R(3π/2) * A

■証明
A * R(π/2) * tA
=
(a,c) (0, -1) (a, b)
(b,c) (1, 0) (c, d)
=
(c,-a) (a b)
(d,-c) (c d)
=
(ac-ac, bc-ad)
(ad-bc, bd-bd)
=
(0, -1)
(1, 0)

= R(π/2)

--------------------------------------------------
R(π/2) =
(0,-1)
(1,0)
= α^-1 * β * α^-1
= β * α^-1 * β

R(3π/2) =
(0,1)
(-1,0)
= α * β^-1 * α
= β^-1 * α * β^-1



A=
(a,c)
(b,c)

c-b=1のとき
A * R(π/2) * A * R(π/2) * A = R(π/2)

c-b=-1のとき
A * R(π/2) * A * R(π/2) * A = R(3π/2)

c-b=0、つまりb=cのとき
A * R(π/2) * A = R(π/2)

[HLT]帰宅

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互いに素のパターンについて


互いに素のパターンについて

ある数aについて

1からa-1までの互いに素のパターンと一致するもの

例 21
(21-1)/2 = 20/2 = 10

(21,1,●)
(21,2,●)
(21,3,○)
(21,4,●)
(21,5,●)
(21,6,○)
(21,7,○)
(21,8,●)
(21,9,○)
(21,10,●)
(21,11,●)
(21,12,○)
(21,13,●)
(21,14,○)
(21,15,○)
(21,16,●)
(21,17,●)
(21,18,○)
(21,19,●)
(21,20,●)

半分から対象なので

(21,1,●)
(21,2,●)
(21,3,○)
(21,4,●)
(21,5,●)
(21,6,○)
(21,7,○)
(21,8,●)
(21,9,○)
(21,10,●)

1から10と同じ互いにそのパターンになるもの

(20,1,●)
(19,2,●)
(18,3,○)
(17,4,●)
(16,5,●)
(15,6,○)
(14,7,○)
(13,8,●)
(12,9,○)
(11,10,●)

(20,19,●)
(19,17,●)
(18,15,○)
(17,13,●)
(16,11,●)
(15,9,○)
(14,7,○)
(13,5,●)
(12,3,○)
(11,1,●)

今回、見つかったものが

(1,19,●)
(2,17,●)
(3,15,○)
(4,13,●)
(5,11,●)
(6,9,○)
(7,7,○)
(8,5,●)
(9,3,○)
(10,1,●)

P.S
ちなみに、21は3の倍数です。
(7,7,○)と同じ数が現れるのは3の倍数であることを意味しています。

from azui

僕のライザップ from azui

ダイエットについてほぼ完成したようです。
やはり、「脂質」が低い食べ物を食べていると太りません。
当然といえば当然なのかもしれません。

もしかしたら、体質によるのかもしれませんが
カロリーよりも、脂質を気にして食べるものを決めるのが僕にはあっているようです。

「糖質」を抑えるというダイエットもあるようですが、僕の体に聞いた限りでは「甘いもの」で太るわけではないようです。
甘いものが太るというのはどうも、デザートなどは甘いく、脂質も高いからでしょう。
ケーキ、チョコレート、クッキーなどなど・・脂質が多いことが原因だと思います。
バターやミルク、生クリームなどなど、脂質が高いもので作られているから太るのでしょう。

やはり、「脂質」が原因なのだと思います。

僕の体に聞いた限りでは、「脂質」と「糖質」に依存しやすいようです。
おなかがすいていなくても、ついつい、食べたくなるのです。
体がほしがるのでしょう。

また、おなかを満たすには「脂質」の多い食べ物を食べると満腹感が得られます。
貧乏生活で、安くおなかを満たすのに自然に、脂質の多い食べ物をとるようになっていました。

・から揚げなどの揚げ物
・バターピーナッツ
・ビスケット
・食パン
・ポテトチップス


脂質を抑える食べ物リスト・ (基本は和食、和菓子)

・マシュマロ
・グミ
・フガシ
・黒糖棒
・柿の種(ピーナッツなし)
・しょうゆせんべえ
・大福(お餅系)
・果物

・ジュース(飲み物全般は太らないと思います。脂質がほぼ低きからです。乳飲料くらいが太るかもしれません)

僕のライザップ from azui

他人の子供を甘やかす事は野良猫や鳩に餌を与える事と同じか?from syarekoube

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互いに素と平方数と{4()+1}型

互いに素と平方数と{4()+1}型

命1「2つの数a,bが互いに素のとき a^2+b^2の素因子p1,p2,...pnは(2)または{4()+1}型に限る」(?)

命2「互素行列
A=
|a c|
|b d|
について (a^2+b^2)*(c^2+d^2) -1 は平方数になる。その正体は 互素行列の列ベクトルの内積の2乗(a*c+b*d)^2
」(真)

命題1より
命3「互素行列
A=
|a c|
|b d|
について (a^2+b^2)*(c^2+d^2) の素因子p1,p2,...pnは(2)または{4()+1}型に限る」(?)



互素行列
A=
|a c|
|b d|
について

(a*d)^2+(b*c)^2 = 2(ad*bc)+1 = ( (ad+bc)^2+1)/2

(ad+bc)^2 = 2( (ad)^2+(bc)^2)-1

(ad+bc)^2 = 4(ad*bc)+1




4( n(n+1) )+1 = (2n+1)^2
4( n(n+2)+1 ) = 4( (n+1)^2 ) = 2^2*(n+1)^2 = ( 2(n+1) )^2


命「平方数に1足した数の素因子は(2)または{4()+1}型のみである」(?.予想) from azui

命「平方数に1足した数の素因子は(2)または{4()+1}型のみである」(?.予想)

n^2, n^2+1
============
1^2= 1, 2
2^2=4, 5
3^2=9, 10=2*5
4^2=16, 17
5^2=25, 26 = 2,*13
6^2=36, 37
7^2=49, 50=2*5^2
8^2=64, 65=5*13
9^2=81, 82=2*41
10^2=100, 101
...
..
.


互いに素と平方数を調べていたら上のような命題が成り立つようだと気づきました。
まだ、予想ですが。

-----
関連
-----
奇数を互いに素である2つの平方数の和で表す

(問題)
kは奇数であり、k=p1*p2*...*pNと素数の積で表した場合に全てのp≡1 mod 4であるならば、k=s^2+t^2、ただしgcm(s,t)=1と表せることを証明せよ。


2つの数a,bが互いに素の時、それらの平方数の和の結果が、{4()+1}型の素因子のみになることに気づきました。

a^2+b^n = p1 p2 p3.... pn

p1 p2 p3.... pnの型はすべて{4()+1}型になる。
ただし、偶数の場合は、どうも、2が1つだけ素因子として現れるようです。少し計算しただけですが。

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サングラスマン破れる from azui

ある日、自転車で信号待ちをしていました。
その信号は交通量が多いのか、青になるまでかなり待たされました。
だから沢山の人が青になるのを静かに待っていました。

近くに若い女性(25歳くらい)が可愛いトイプードル(?)を連れて待っていました。
犬は落ち着きなく動き回っています。
僕は待っている間、暇だったので犬が動き回っているのをジーっと見ていました。

若い女性はペットの犬に子供にでも話かけるように

「どっち行く?」
と話しかけはじめました。
僕は、
「ああ。犬好きのやさしい女性なんだなぁ。トイプードルも家では可愛がられているんだろうなぁ」
なんて思いました。

その後も、女性はペットに
「こっちがいいの?」
「あっち行く?」
「どこいく?」
と必要にトイプードルに質問します。
(僕と同じように信号待ちしているんだから青になったら向こう側に渡るつもりじゃないの?)

ちょっとくらいなら犬に話しかけているのはわかるけど、そんなに質問攻めしている女性が不思議に思えてきました。
犬が言葉を理解できるわけないのだから、冷静に考えてみたら、独り言を言っているのと同じではないか?
一人でぶつぶつと・・周りには沢山の人が静かに信号待ちしている中で・・

そのうち犬が僕のところによってきて、若い女性も、
「あらっ、こっちにいきたいの」

と近寄ってきます。
僕はそのとき、「サングラスマン」になっていたのです。(サングラスをかけていただけ)
僕は他人から恐れられて礼儀正しくさせるために変身しているのに、その女性はそんなことはお構いなしで近寄ってくるではありませんか。普通の人ならサングラスマンに近づいてこないのに・・なんで近づいてくるの。

「怖い、怖い」

その女性の心理がまったく、読めないのが怖い。

命)4( Σ2x ) +1 の平方数から互いに素す組み合わせがすべて生成される(?..予想)

命)4( Σ2x ) +1 の平方数から互いに素す組み合わせがすべて生成される(?..予想)

「互素行列の4つの成分の積を4倍して1足すと平方数になる」
ことを調べていて、それは

4( n(n+1) )+ 1 = (2n+1)^2

という平方数であるとわかりました。これは{4()+1}型の平方数のすべてであるようです。
逆に、この平方数から 互素行列を生成してみました。
(nとn+1の約数のペアをbc=n, ad=n+1として、互素行列を生成するということです。)


順番に生成してみると、どうやら、互素行列のすべてを生成できるようです。
互素行列が互いに素のペアをあらわしているならば、平方数と互いに素というものが関係しているようです。
または、互素行列が平方数で分類できる。


その本質は n(n+1)と差が1の数が互いに素だということのようです。
1と2、2と3、3と4、4と5・・・・と
命「mとm+1は互いに素である」(真)という既にしられている命題です。

P.S
もしかしたら、当然のことなのかもしれません・・・

互素行列の成分と互いに素

行列式が1である。

ad-bc=1である

adとbcの差が1である

(ad,bc,●)。adとbcが互いに素である ※ gcm(ad,bc)=1

adの素因子、bcの素因子は互いに素である

adの約数とbcの約数は互いに素である

互素行列
A=
|a c|
|b d|
(ad,bc,●) ※adとbcが互いに素。gcm(ad,bc)=1
(a,b,●) (c,d,●) (a,c,●) (b,d,●) ※gcm(a,b)=1,gcm(c,d)=1,gcm(a,c)=1,gcm(b,d)=1

互素行列と平方数~n(n+1)が本質か!?~

互素行列と平方数~n(n+1)が本質か!?~

A=
|a c|
|b d|

互素行列の行列式
detA = ad-bc=1
ad=bc+1

互素行列4つの成分の積
ad・bc = bc(bc+1) ...(1)

ここで唐突に、総和(Σの公式)
Σ x = n(n+1)/2
Σ 2x = 2Σ x = 2(n(n+1)/2) = n(n+1) ...(2)

4( Σ 2x )+1
= 4( n(n+1) )+1 ※(2)より
=4( n^2+n )+1
= 4n^2 + 4n + 1
= (2n)^2 + 4 n + 1
= (2n+1) ^2 ※(2n+1)^2 = (2n+1)(2n+1) = (2n)^2+4n+1

∴ 4( n(n+1) )+ 1 = (2n+1)^2 ...(3)

P.S
式(1),(2),(3)より、
「命)互素行列の4つの成分の積を4倍して1足すと平方数になる(真)」



互素行列の性質

A=
|a c|
|b d|

detA = ad-bc=1
a>b c>d ※aとb、cとdが法と余りの関係になるようにする(ユークリッドの互除法の逆演算で生成される行列になる.一意?)
(ad,bc,●) ※adとbcが互いに素。gcm(ad,bc)=1
(a,b,●) (c,d,●) (a,c,●) (b,d,●) ※gcm(a,b)=1,gcm(c,d)=1,gcm(a,c)=1,gcm(b,d)=1



■命)互素行列の4つの成分の積を4倍して1足すと平方数になる(真)
4(a・b・c・d)+1 = (ad+bc)^2

■互素行列の2つの列ベクトルのsinとcos
(sinθ)^2 = 1 / (a^x+b^2)(c^2+d^2)
(cosθ)^2 = ((a^x+b^2)(c^2+d^2)-1) / (a^x+b^2)(c^2+d^2)

■命)互素行列の4つの成分a,b,c,dの内1つは偶数である
{ a・b・c・d }= {2()}型

■命)互素行列の4つの成分(a・d) (b・c)の一方は奇数、もう一方は偶数ある(真)
証明.detA=ad-bc=1より、adとbcの差が1だから

■命)互素行列の2つの列ベクトルの絶対値の2乗の積から1引いた数は平方数である(真)
(a^x+b^2)(c^2+d^2)-1 は平方数である。
その正体は(ac+bd)^2。2つの列ベクトルの内積の2乗である。


■ad,bcの和、積、2乗和
4(ad・bc)+1 = (ad+bc)^2 = 2( (ad)^2+(bc)^2)-1
2(ad・bc)+1 = (ad)^2+(bc)^2

■ad,bcの和、積、2乗和の関係
(積)ad・bc = ((ad)^2+(bc)^2-1)/2 = ((ad+bc)^2-1)/4
(和)ad+bc = sqrt( 4(ad・bc)+1) = sqrt( 2((ad)^2+(bc)^2)^2-1)
(2乗和)(ad)^2+(bc)^2= 2(ad・bc)+1 = ( (ad+bc)-2+1 )/2



P.S
行列式が1であることから、こんなに面白い(?)性質が導き出されるようです。

2乗和

Q.2乗和の意味はなんですか?

A.各数字を全部2乗して足したものです

2乗和の意味はなんですか?
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syarekoube

Author:syarekoube
しゃれこうべとあずいの2人によるブログです。
主にアクションゲーム制作について発表しています。
あと、数学の研究です。

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