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パスカルの三角形から互素行列式の三角形

パスカルの三角形から互素行列の三角形

少し、変形の仕方がわかってきました。
なるべく単純な(機械的)やり方を探していました。

この変形(計算)をmodでみたら、パスカルの三角形のようにn乗が素数の時、係数が素数nで全て割り切れそうな感じはしてきました。
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パスカルの三角形と互素行列の三角形

ノート

パスカルの三角形から互素行列の三角形への変形を調べています。やはり、変形できます。
行列式のn乗の係数について、nが素数の時、全ての係数が素数nで割り切れるのではないかと思うのですが、なぜなのかが分かりません。

また、わかってしまえば当然になると思うのですが。

互素行列式の三角形

互素行列式の三角形


互素行列の行列式のn乗の式の係数のちょっと面白い(?)パターンかわかりました。

パスカルの三角形のように係数だけ書き出してパターンを調べてみました。

三角形の左端から
の数列にパターンがあり、

2,2,2,2,...

3,5,7,9,...

4,9,16,25,36,..

5,14,30,55..

6,20,50,105,...

のような感じです。
どうも

ΣΣΣ…ΣΣΣk^2

と平方数の総和の総和の総和の…のようになっているようです。

また、予想ですが、パスカルの三角形のようにnが素数の場合、係数は全て素数nで割り切れるようです。

不思議です。

たぶん、パスカルの三角で出てくる数から互素行列式のn乗の係数は求められるからなんだろうと思うのですが。

p,s
平方数の総和より前について。
数列

2,2,2,2,...

3,5,7,9,...

4,9,16,25,...

隣り合う奇数の差は2。
奇数の総和は、平方数になります。

美しい(?)パターンです。

平方数の総和の性質


平方数の総和の性質

当分は互いに素数行列の行列式のn乗について調べてみようかと思っています。

平方数の総和が出てきましたので調べていたらちょっと面白い(?)パターンがありました。
平方数の総和は、

Σ {i=1,n }i^2 = (n(n+1)(2n+1))/6

という公式のようです。
この式を mod 2n+1 で見た時、

2n+1が3で割り切れる場合
Σ {i=1,n }i^2 ≡ (2n+1)/3 (mod 2n+1)

割り切れない場合
Σ {i=1,n }i^2 ≡ 0 (mod 2n+1)

になるようです。
まだ、式を変形してうまく証明できません。

p,s
なんの役に立つかは分かりませんが。

互素行列の行列式のn乗

互素行列の行列式のn乗

互素行列の行列式は

ad-bc=1

です。行列式をn乗しても値としては1のままで何にもならないやうに思えます。

でも、行列式を2乗すると面白い(?)事に式はプラハマグプタの恒等式になります。

3乗,4乗,5乗,...n乗したらどうなるか気になったので調べてみました。

(ad-bc)^n

なのでたしか、二項係数と呼ばれていたと思います。コンビネーションで計算できます。パスカルの三角形でも求められます。
その係数がad-bc=1のためまとめ
られて面白い(?)事になります。

n乗が偶数か奇数かによって2パターンになります。偶数の係数には必ず平方数が現れます。奇数の場合には平方数の総和が現れます。

また奇数、偶数に区別なく、n乗なら

n(ad)(bc)+1

という形が現れます。

p,s

n(ad)(bc)+1

という形は今まで互素行列を調べていて出てきていました。

(ad)^2+(bc)^2 = 2(ad)(bc)+1

平方数 = 4(ad)(bc)+1
互いに素数行列の4つの成分の積を4倍して1足すと平方数になる。

です。これらは行列式のn乗に関係していたのだとわかりました。

研究ノート

ノート

研究ノート

ノート

研究ノート

ノート

ファミコン ディスク アスピック マップ

アスピック マップ

最近、ファミコンのアスピックというRPGを遊んでいました。
やっとクリアできました。ネットを探してもマップが見つからなかったので自力で作りました。せっかく作ったのでアップしておきます。


だいぶん昔のパソコンのゲームの移植されたゲームです。
クリスタルソフトというゲームメーカーで、無限の心臓という名作(?)を作った会社です。
(無限の心臓はクリアしましたが面白いです。ドラクエの元と言ってもよさそうなシステムです)


こういうRPGは好きです。ゲームはシンプルで面白いとは言えないかもしれません。ただ、不気味なリアルな世界が面白い感じがさます。昔のアニメぽくない世界観が好きです。僕はこうあったゲームを『大人ゲー』と呼んでいます。日本ファルコムのイースというゲームなどの大成功からRPGがアニメぽくなっていったような気がします。ドラクエなども影響が大きいでしょう。日本、独特な世界観のような気がすます。もちろん、嫌いではありませんが。

p,s
ファミコンのゲームを遊んでいたら、あまりに理不尽、謎をとくヒントの無さに嫌になってプレーするのを何度もやめます。まだ、ファミコンは、ましかもしれません。さらに昔のパソコンのゲームの理不尽さに比べると…。
謎をとくヒントが分かりにくい、無いとなると、ゲームの中で行える事をしらみっつぶしに試して見るしかありません。
もう、本当に嫌になってきます。
それでもトライしては挫け、何日も続けていたら、ある日、突然、謎がとける。解けたときの喜びは忘れられません。

おじさんになってみるとゲームに費やした時間の無駄に悔やむこともあります。ただ、問題空間の中を諦めないで試行錯誤する力というものをてにいれていたとしたら、その時間も無駄ではなかったと肯定できるのですが。

ノート

ノート

ガウス整数世界での互素行列

ガウス整数について少しわかってきました。今までの整数は、有理整数と呼ばれているようです。
複素数の範囲でも有理整数で成り立っていたことがほぼ同じように成り立つようです。今までの整数が拡張されたものがガウス整数です。

互いに素、合同、mod、素数、素数因数分解などなど複素数の世界でも考えることができます。

今まで有理整数の世界で考えてきた互素行列の性質が、ガウス整数の世界でどうなるか興味深いです。何か面白い事実が見つかると良いのですが。
面白いですが計算は面倒くさいです。

一つ、面白いことがありました。

(命)隣り合うガウス整数は、互いに素である(?)

です。既にわかっていることではないかと思います。
互素行列を考えるのに重要なことのようなのでまず気になって調べてみました。

隣り合うガウス整数とはどういうことなのか?

どうもガウス整数x+iyについて

(x+1)+iy
(x-1)+iy
x+(y+1)i
x+(y-1)i

ということのようです。確かに有理整数も含まれています。

これらのノルムも互いに素のようです。



ノート


スマホの欠点

最近、スマホを てにいれました。スマホに時間を取られてなかなか、研究(?)に身が入りません。
周りの人達がいつもスマホに夢中になっているのがようやくわかりました。
free wifiという恐ろしく便利な環境が整ってついつい、ネットに接続したくなります。また、僕のスマホが悪いのか使いにくく書き込みなどするのに時間がきります。パソコンならすぐにできる事が何十倍も時間がかかったりしてイライラします。

調べたい事などすぐ検索できるので助かりますが。
研究について何でもいいから早く書き込みたいとじっくり考えなくなっているようです。
スマホを持っていなかった時のほうが明らかに研究がはかどっていました。

良いところ(利点)はあるのですが集中力が落ちるという欠点があるようです。

13歳の娘に語るガウスの黄金定理 金重明

13歳の娘に語るガウスの黄金定理 金重明

p87 フェルマーの直角三角の定理
(-1/p)=1 つまり、x^2≡-1に解がある。
<==>p=a^2+a^2と表現できる。



p214 新たな冒険へ
ガウス正数について分かりやすく説明されている。
知りたかった

mod 複素数

について載っていました。


p237 ガウス素数a+biの時、aとbは互いに素


p.s
今まで互素行列を調べていて、予想でしたが導いてきました結果は、すでに証明させていました。
ちょっとガッカリなきもします。が、当然でしょう。それでも自分なりに導いてきたので、やってきたことは間違いではなかったようです。

2と{4()+1}型の素数が複素数の範囲で素数因数分解できる証明と互素ベクトルのノルムの2乗(別解)

ノート

全ての互いに素について言えるかはわからないかも知れません

p.sこ
2018/11/2
間違いでした。
互素ベクトルのノルムの2乗が平方数になることがあるため、平方数が全て最大公約数になるとは限りません。
平方数にならない場合でも、素因子が2n乗になることがあります。
その場合にすかし興味深いことが出てきました。
まだ詳しくはわからないですが。

2n乗の素因子を最大公約数と考えることで、互素ではないベクトルでノルムの2乗が同じになるものが存在するようなのです。
何が興味深いかは自分でもまだわからないですが。

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(命)互素ベクトルのノルムの2乗が素数の時{4()+1}型である(?)

ついでに書いておきます。

これが正しければ、素数が複素数の範囲で素因数分解できるのは{4()+1}型の素数に限られる。

と言えそうです。

(命)互素ベクトルのノルムの2乗が平方数の時{4()+1}の奇数の2乗のみである(?)

ノート

(命)互素ベクトルのノルムの2乗が平方数の時{4()+1}の奇数の2乗のみである(?)

さらに詳しく言うと
偶数の平方数は現れない。
平方数の素因子は{4()+1}型の素数のみで構成されている。つまり{4()+3}型の素数の2n乗は現れることはない。

ということです。

p,s
2018/11/3
2の事を忘れていました。

(1,1,●) ←1と1は互いに素

∥1,1,●∥
=1^2+1^2
=1+1
=2

ついでに、互素ベクトルのノルムの2乗が偶数の場合は{4()+2}型のようです。
{4()+2}型の偶数は2で一度しか割れません。

{4()+2}/2
={2()+1}

となって奇数になってしまうからです。
つまり、

(命){4()+2}型の偶数は素因子2を一個しか持たない(真)

ということです。

2と{4()+1}型の素数が複素数の範囲で素数因数分解できる証明と互素ベクトルのノルムの2乗

ノート
素数が複素数の範囲で素因数分解できるのは2か{4()+1}型の素数です。

この事と

虚数(2乗すると-1になる数)が存在する法は2か{4()+1}型の素数である。

は関係がありそうです。

ガウス素数のは、

p=(x+yi)(x-yi)

と複素数の共役の積の形をしています。
そして、xとyは互いに素です。

(x,y,●)

互素行列を調べていたら

(命)互いに素の2つの数の2乗和の数の素因子は2か{4()+1}型の素数のみである(?)

とわかりました。

p.s
自然数x,yが互いに素ということを

(x,y,●)

と表しています。また、ベクトルと考えて「互素ベクトル」と呼ぶことにします。
互素ベクトルのノルム(長さ、絶対値)を

|x,y,●|=sqrt(x^2+y^2)

ノルムの2乗を

∥x,y,●∥=x^2+y^2

という記号で表して見ました。
このとき

(命)互素ベクトルのノルムの2乗∥x,y●∥の素因子は2か{4()+1}の素数のみになる(?)


±_+++++_------------

∥a c.∥ |aТc.|^2 |a c.|^2
∥b d∥ = |b d| + |b d|


複素数の範囲での(一般)互素行列

複素数の範囲での(一般)互素行列

合同式における虚数(2乗すると-1になる数)について考えていたら、互素行列が複素数でも成り立つとわかってきました。だいぶ昔に気づいていましたが、まだ自然数の範囲での互素行列について調べることがまだまだあり、複素数の範囲は考えるのはやめました。
だいぶん、互素行列についてわかってきたようなので複素数の範囲にチャレンジしてみようかと思います。ですが、複素数になると今まで考えてきた互素行列に対する扱い方がどうやったらよいのかわからなくなります。


例.

step1.{4()+1}型の素数37

37=(1+6i)(1-6i)


step2.隣り合う自然数は互いに素

(37,36,●) ←37と36は互いに素


step3.約数

37の約数 {1,1+6i,1-6i,37}
36の約数 {1,2,3,4,6,9,12,18,36}

もしかしたら2=(1+i)(1-i)も考えられるかも

step4.約数のペアから互素数行列を生成

|37 36|
| 1 1 |

|37 18|
| 2 1|

|37 12|
| 3 1|

|37 9|
| 4 1|

|37 6|
| 6 1|

ここまでは今まで考えてきた自然数の範囲です。
-----------------------------------
ここから下が複素数の範囲になります。

|1+6i 36|
| 1 1-6i |

|1+6i 18|
| 2 1-6i|

|1+6i 12|
| 3 1-6i|

|1+6i 9|
| 4 1-6i |

|1+6i 6|
| 6 1-6i |

当然これらは全て行列式が1になります。
このように、隣り合う自然数から互素行列を生成できます。

複素数の範囲まで考えると不思議というか、どう考えて良いのか、まだわからない事が出てきます。

例えば、
法37で虚数(2乗すると-1にな数)は6と31があります。
それらをiと-iと考えます。すると

i≡6 (mod 37)

と虚数をmodすることができるという意味になるのではないかとおもえます。と言うことは

i=37(x)+6

iは37で割ると6余る数と考えられそうです。意味がわかりませ。

互素行列は4つの成分の因子(素因子、約数)でmodしても一般互素行列(行列式が1)になります。これも当然ですが。
すると、例えば

6^2≡-1 (mod 1+6i)

6は法1+6iにおいて虚数ななる。

みたいな事になってしまいます。さっぱり意味がわかりません。

法を複素数にすることはできるのでしょうか。


有限体以外での虚数

(命)有限体以外(法が合成数)の合同式で虚数(2乗すると-1になる数)が存在する法は2と{4()+1}型の素数素因子として構成されている合成数である(?)
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しゃれこうべとあずいの2人によるブログです。
主にアクションゲーム制作について発表しています。
あと、数学の研究です。

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