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『積表の1、-1と互素行列は一対一に対応している』

積表と互素行列

ユークリッドの互除法の逆演算

『積表の1、-1と互素行列は一対一に対応している』

modの積表と互素行列について調べいます。
今のところ目新しいこと見つかっていません。

積表から互素行列は4つで1のグループになっています
グループはペアになっているようです

つまり、8つの互素行列が関係していることがわかります。
これは、以前からわかっていました。

逆に積表を、互素行列の視点で見たときユークリッドの互徐法の逆演算の関係で見ることができる
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研究ノート

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研究バックアップ

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積表と互素行列

積表と互素行列

ハイスコアガール

久しぶりに面白いと思うアニメ

アドベンチャータイム

深夜番組でやっている海外のアニメ

連分数のふしぎ (ブルーバックス) | 木村 俊一著

図書館でこの本を借りて読んでみました。
最後のほうは、理解できなかったので目を通しただけでしたが興味深いことががいくつか載っていました。

P43 連分数の変換の仕方
 1)真分数の逆数を取る
 2)整数部と真分数部に分ける

P75,P58,P85 2次方程式と「X自身のコピーがXの表現の中に入っている」
P77 「X自身のコピーがXの表現の中に入っている」
P82 手順
P262 方程式とは何か


P102 ユークリッドの互減法(ユークリッドの互除法の逆演算)
P103 ユークリッドの互除法と連分数
P105 線分(実数)に対するユークリッドの互除法

P109 正五角形と黄金比と線分(実数)に対するユークリッドの互除法
P121 
   ものの個数(整数)
   線分の長さ(実数)
今では両者は同じ数とされる。しかし、ユークリッドの頃には同じ量とは考えられていなかった。両者を同じ数によってあらわすのは代数と幾何を統一したデカルト以降の発想なのである。

P129 足し算の世界と掛け算の世界  2^t log2()

P156 連分数の応用 
  a)数の正体を見破る技術
  b)与えられた数に近い分数を見つける技術(近似分数)

P171 大接近と互素行列

 p198 神様の糸
P205 糸の傾きαを無理数にしてみると糸はの釘の上も通過せず、どこまでも伸びていく

解Yが同じペル方程式の列挙

ペル互素行列

A=
|X DY|
|Y X |
= X^2 -(D)Y^2
= 1

[step1]
k^2 < D < (k+1)^2

--->A = α^k β[...]β α^k (β[...]βは回文互素行列)

[step2]
β[...]β = α^(-k) A α^(-k)

[step3]
{Y}={2()} Yが偶数のとき Y'=Y/2
{Y}={2()+1} Yが奇数のとき Y'=Y

[step4]
k ≡ k0 (mod Y')

[step5]
Y'*n+k0

------------------------------------
α^(Y'*n+k0) β[...]β α^(Y'*n+k0)
------------------------------------
はペル互素行列になる。
このペル方程式は解Yが共通のものである。
それは無数に存在する。

両サイドはβ( A=β[...]β)で回文互素行列の4つの成分の偶奇のパターン

互素行列が
A=β[...]β
=
|p q |
|Y p|

※対角成分が同じ互素行列のことを「回文互素行列」と呼んでおこうと思います。
※Aの基本互素行列表現は A=β[...]βという、両サイドはβで回文互素行列

回文互素行列の4成分の偶奇のパターンが以下の4つあります。

(ア)
|o e|
|e o|

(イ)
|o o|
|e o|

(ウ)
|o e|
|o o|

(エ)
|e o|
|o e|


少し計算しのと今までの研究ノートの結果からですが、どうも(イ)の
|o o|
|e o|
の両サイドはβ( A=β[...]β)で回文互素行列からは
α^k A α^k
という形でペル互素行列は存在しないようです。
その他のものは存在する。



ペル互素行列の4成分の偶奇のパターンを調べるとペル互素行列が

|X DY|
|Y X |

なのでYが偶数のとき、DYは必ず偶数になる。したがって、上の(イ)のパターン

|o o|
|e o|

には絶対にならない。
このことと関係があるようです。

ペル方程式の互素行列の必要十分条件(?)

ペル方程式の互素行列の必要十分条件(?)

互素行列が
A=
|p q |
|Y p|

※対角成分が同じ互素行列のことを「回文互素行列」と呼んでおこうと思います。
※Aの基本互素行列表現は A=β[...]βという、両サイドはβで回文互素行列



ペル互素行列は

X^2 - D(Y^2) = 1
=
|X DY |
|Y X|
= α^k A α^k

(1) DY = Y( k^2 ) + p(2k) + q ≡ 0 (mod Y)
(2) X = Y( k ) + p ≡ p (mod Y)
(3) p(2k) ≡ -q (mod Y)
(4) (k0)^2 < D < (k0+1)^2
(5) k= (Y/2)n + k0 (n=0,1,2,3....)

P.S
ここに書いた互素行列の条件を満たしたものは「ペル互素行列」になります。
いままだ、
自明な逆数のペル互素行列の条件はわかりました。

自明でない逆数のペル互素行列の条件上のもののようです。

ただ、これが「必要十分条件」かはわかりません。

上の条件は
「自明な逆数のペル互素行列の条件」
も含まれているのでより、一般的なペル互素行列の条件です。


ペル互素行列と回文(?)

x^2-13y^2=1

基本互素行列による表現は

(α^3)[βα]^2(β^6)[αβ]^2(α^3)

です。
分けてみると

(α^3)
[βα]^2(β^6)[αβ]^2
(α^3)

になっています。
両サイドから(α^3)を掛けています。
真ん中のパターンも面白いことに、左から並べたものと右から並べたものが同じです。
つまり「回文」になっています。
実は全体も同じで「回文」になっています。
互素行列が

|p q |
|Y p|

のように、対角の成分が同じになる場合、基本互素行列は回文になります。

そうするとペル方程式の互素行列は、
(ペル方程式の互素行列表現したものををペル互素行列と呼ぶことにします。)

|X DY|
|Y X |

だから、基本互素行列は回文になります。

この真ん中の部分の成分を計算してみると

[βα]^2(β^6)[αβ]^2
=
|109 66|
|180 109|

になります。

この4つの成分(180, 109, 66)についてわかったことですが、

109^2 ≡ 1 (mod 180)
109^(-1)≡ 109 (mod 180)

2* 109* (3)=654≡-66 (mod 180)

3^2 < 13 < 4^2
9 < 13 < 16


ユークリッドの互除法と連分数

【発展】ユークリッドの互除法と連分数

Xを決めてペル方程式を導くと複数のペル方程式が導出できる

Xを決めてペル方程式を導くと
平方数と非平方数の分け方によって、
複数のペル方程式が導出できると気づきました。



X=49
(X+1)=50 = 2 * 5^2
(X-1)=48 = 2^4 * 3

(X+1)(X-1)
=50*48=2400
= 2 * 5^2 * 2^4 * 3
= 2^5 * 3 * 5^2
= 2^4 * 5^2 * ( 2*3) .....(1)
= (4*5)^2 * (6)
= 20^2 * (6)

Y=20
D=6
X^2 - 6*Y^2 = 1
(X,Y)=(49, 20)


(1)は、平方数と非平方数の分け方として、ほかにある

2^4 * 5^2 * ( 2 * 3 ) .....(1)
= 2^2 * 5^2 *(2^2 * 2 * 3 )
= (2* 5)^2 *(4* 6 )
= (10)^2 *(24 )
Y=10,
D=24
X^2-10*Y^2=1
(X,Y)=(49, 10)


2^4 * 5^2 * ( 2 * 3 ) .....(1)
= 2^4 *( 5^2 * 2 * 3 )
= (4)^2 *(25 * 6 )
= (4)^2 *(150 )
Y=4,
D=150
X^2-150*Y^2=1
(X,Y)=(49, 4)


2^4 * 5^2 * ( 2 * 3 ) .....(1)
= 5^2 *( 2^4 * 2 * 3 )
= (25)^2 *(16 * 6 )
= (5)^2 *(96 )
Y=5,
D=96
X^2-96*Y^2=1
(X,Y)=(49, 5)



2^2 * (2^2 * 5^2 * 2 * 3 ) .....(1)
= 2^2 *(4 * 25 * 2 * 3 )
= (2)^2 *(600)
Y=2,
D=600
X^2-600*Y^2=1
(X,Y)=(49, 2)

form azui

P.S
あってるかな?

いぬやしき

パチンコ屋にあった、漫画で「いぬやしき」が面白かった。
「GANTZ」を書いていた漫画家の人の作品だ。

ある日、暇だったので、パチンコ屋へ行って途中まで読んでいた「いぬやしき」の続きを見に行こうと思った。
もちろん、お金がないのでパチンコを打つつもりはない。

パチンコ屋へついて早速、休憩室へ向かった。

すると、休憩室は満員だった。

僕はガッカリした。そして腹が立ってきた。
僕は休憩室を出るとき、中の人々に、こう言いたくなった。

「この、負け犬どもが!」

from azui

P.S
「いぬやしき」だけに。

PUDO(プドー)ステーション

PUDO(プドー)ステーション
このサービス使えそう。
自宅以外で、荷物を宅配(?)してもらえるようです。

ペル方程式の互素行列の固有値(2)


X^2-1

について、少しわかったことですが。

(x+1)(x-1)
=x^2-x+x-1
=x^2-1

より、

X^2-1 = (x+1)(x-1)

です。
xの隣の数の積です。
そして、1足すと当然

X^2-1+1 = (x+1)(x-1)+1
X^2 = (x+1)(x-1)+1

です。これは以前、代数の本に載っていた、

「平方数は奇数の数列の和で表せる」

という意味です。面白いです。

確か
n
Σ 2x+1= n(n+2)+1
x

だったと思います。
差が2の数の積に1足すと平方数になる。

どの奇数まで足すは

2n+1

までです。
n=X-1

2(X-1)+1
=2X-2+1
=2X-1

よって、

「2X-1までの全ての奇数の和がX^2である」



X=49
(X+1)=50 = 2*5^2
(X-1)=48 = 2^4*3

(X+1)(X-1)
=50*48=2400
= 2 * 5^2 * 2^4 * 3
= 2^5 * 3 * 5^2
= 2^4 * 5^2 * ( 2*3)
= (4*5)^2 * (6)
= 20^2 * (6)

Y=20
D=6
X^2 - D*Y^2 = 1

X^2 - 6*Y^2 = 1
(X,Y)=(49, 20)


2(48)+1
=97
= 49+48
≡48 mod 49
≡-1 mod 49

P.S
そんなに面白くないかな(?)

ペル方程式の互素行列の固有値


ペル方程式の互素行列の固有値

A=
|X DY|
|Y X |

tr(A) = 2X
tr(A)^2 = (2X)^2 = 4X^2
tr(A)^2-4 = 4X^2-4 = 4(X^2-1)

λ = (tr(A) ± sqrt( tr(A)^2 - 4))/2
= (2X ± sqrt( 4(X^2-1 )) /2
= (2X ± 2* sqrt( X^2-1)) /2
= X ± sqrt( X^2-1) ...(A)


ここでsqrt()の中の式 X^2-1 の値を平方数(Y^2)と非平方数(D)の積に分けると

X^2-1 = Y^2 * D

X ± sqrt( X^2-1)
= X ± sqrt(Y^2 * D)
= X ± Y * sqrt( D)

これはペル方程式
X ^2- D * Y^2 = 1

のYとDを意味しています。
当然かもしれません

これはペル方程式の見方の1つかもしれませんが、
つまり、

「X^2 - 1 の数を平方数と非平方数に分けて考えて平方数がY, 非平方数がDを意味している」


例 X=46

X^2-1
= 46^2-1
= 2116-1
=2115
= 3^2 * 5 * 47

Y=sqrt(3^2)=3
D=5*47 = 235

X^2 - 235*Y^2 = 1
(X,Y)= (46, 3)



from azui

互素行列と法(mod)

互素行列と法(mod)

「ペル方程式と互素行列」を調べていますが、少し、行き詰ってきたかもしれません(早っ)
それでも、そこから面白いことも少しわかりました。

互素行列を法(mod)で見るという視点です。

どうも、
「互素行列の4つの成分のどれを法(mod)として選んでも、互素行列は、(一般)互素行列となる」

ようなのです。
(※一般互素行列とは、行列式は1の行列のことです。もちろん、ぼくが勝手に名付けましたが・・・)

互素行列 A =
|a c|
|b d|

のとき、


|a c|
|b d| mod a

|a c|
|b d| mod b

|a c|
|b d| mod c

|a c|
|b d| mod d

とみたときも、その行列式は全て1になります。
これは当然なのかもしれませんが・・・

ペル方程式を、互素行列で表現したものも、結局は、互素行列のこの性質によって「ある法によって、自分自身が逆数」にならざるを得ないということのようです。

面白い(?)です。


プロフィール

syarekoube

Author:syarekoube
しゃれこうべとあずいの2人によるブログです。
主にアクションゲーム制作について発表しています。
あと、数学の研究です。

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